MATDIS 1A (PROPOSISI)

MATEMATIKA DISKRIT 

PROPOSISI
a. Pengertian Proposisi
Proposisi adalah suatu kalimat yang memiliki nilai benar (true atau salah (false) tetapi tidak memiliki nilai keduanya. Kalimat tanya atau perintah tidak dianggap sebagai proposisi karena nilai kebenarannya belum jelas atau menimbulkan ambiguitas (makna ganda). Dalam bahasa pemrograman nilai benar diwakili oleh angka 1 sedangkan nilai salah diwakili oleh angka 0.

Contoh Proposisi :

1. Hasil dari 3 x 3 = 9

2. Ibukota Malaysia adalah Kuala Lumpur

3. Jumlah murid di kelas 1A adalah 37 orang

4. Smartphone adalah barang elektronik

5. Bola itu bentuknya bulat

Contoh Bukan Proposisi :

1.Sungai itu deras

2. Baju itu mahal

3. 3 + 3x = 8

4. Mobil itu sangat cepat

5. Warna rambut adalah hitam

b. Jenis Proposisi

   Proposisi dikelompokkan menjadi beberapa bentuk. Ada proposisi yang sangat sederhana, hanya terdiri atas satu subjek dan satu predikat. Ada juga yang bertingkat atau majemuk sehingga memerlukan kata hubung. Dalam logika, kata hubung yang digunakan disebut dengan operator/perangkai logika.

1. Proposisi atomik

Proposisi yang tidak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi penyusunnya.

contoh : 7 adalah bilangan ganjil.

      2. Proposisi majemuk

Proposisi yang terdiri dari beberapa proposisi atomik.

contoh: 2 adalah bilangan genap dan prima.

OPERATOR LOGIKA

    a. Pengertian Operator Logika

 Operator logika merupakan penghubung antara dua proposisi yang biasanya digunakan pada  jenis proposisi majemuk. Perhatikan contoh proposisi majemuk 5 adalah bilangan prima dan  genap, jelas bahwa operator logika yang digunakan adalah operator logika “dan”. Selanjutnya  dapatdisimbolkan p: 5 adalah bilagan prima dan q: 5 adalah bilangan genap, sehingga contoh  diatas dapat disimbolkan dengan p˄q.simbol huruf p,q disebut dengan variabel logika.

Tabel Simbol Operator Logika

Simbol	Arti	Bentuk
~	Tidak/bukan/negasi/not	Tidak p
^	Dan/konjungsi/and	p dan q
V	Atau/disjungsi/or	p atau q
⇨	Implikasi/implies	jika p maka q
⇔	Bi-implikasi/ifand only if	p jika dan hanya jika q

      b. Jenis Operator Logika

                   1. Operasi Uner

          Operasi uner adalah operasi yang hanya berkenaan dengan satu unsur, yaitu pernyataanlah sebagai unsurnya. Operasi negasi, atau disebut pula operasi penyangkalan/ ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh pernyataan tersebut Dilambangkan dengan “~”.

                   2. Operator biner

               Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur.  Dalam matematika yang termasuk operasi biner diantaranya : penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian.

            TABEL KEBENARAN

                  Tabel kebenaran (truth table) adalah suatu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. (Rinaldi Munir, 2010).

 konjungsi (“˄”)

Tabel kebenaran

P	Q	p˄q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

disjungsi ("V")

Tabel kebenaran

P	Q	p˅q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

implikasi ("⇨")

Tabel kebenaran

P	Q	p→q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

biimplikasi ("⇔")

Tabel kebenaran

P	Q	p↔q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Negasi ("~")

Tabel kebenaran

p	Q	~p	~q
1	1	0	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	1

IMPLIKASI DAN APLIKASI
  1. Implikasi dan Operator Logika 
            Operator yang digunakan yaitu konvers, invers dan kontraposisi.Dari suatu pernyataan bersyarat “ p ⇒ q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain sebagai berikut :

1)      q ⇒ p disebut pernyataan Konvers dari p ⇒ q

2)      ~p ⇒ ~q disebut pernyataan Invers dari p ⇒ q

3)      ~q ⇒ ~p disebut pernyataan Kontraposisi dari p ⇒ q 

   2. Implikasi pada Bahasa Pemrograman

           Struktur if-then yang digunakan pada kebanyakan bahasa pemrograman berbeda dengan implikasi if-then yang digunakan dalam logika. Struktur if-then dalam bahasa.

Pemrograman berbentuk if c then S yang dalam hal ini c adalah sebuah ekspresi logika yang menyatakan syarat atau kondisi, sedangkan S berupa satu atau lebih pernyataan. Ketika program dieksekusi dan menjumpai pernyataan if-then, S dieksekusi jika c benar, tetapi S tidak dieksekusi jika c salah.

Pernyataan if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidak ada korespondensi antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi (®). Penginterpretasi bahasa pemrograman (disebut interpreter atau compiler) tidak melakukan penilaian kebenaran pernyataan if-then secara logika. Interpreter hanya memeriksa kebenaran kondisi c, jika c benar maka S dieksekusi, sebaliknya jika c salah maka S tidak dieksekusi. 

TAUTOLOGI   
Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi – proposisi di dalamnya.
 

Tabel kebenaran

A	B	A ˄ B	A ˄ B⇨ B
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

Dari tabel kebenaran di atas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

A^B⇨B adalah semua benar (Tautologi).

KONTINGENSI    
Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan dan salah di dalm tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya atau jika pada semua nilai kebenaranny menghasilkan nilai F da T disebut contingent atau formula campuran.

Tabel kebenaran

A	B	C	B˄C	A⇨(B ˄C)
1	1	1	1	1
1	1	0	0	0
1	0	1	0	0
1	0	0	0	0
0	1	1	1	1
0	1	0	0	1
0	0	1	0	1
0	0	0	0	1

Dari tabel kebenaran di atas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk:
A⇨(B ˄C) adalah benar dan salah (Kontingensi).

KONTRADIKSI
jika pada semua pasangan nilai dari tabel kebenaran menghasilkan nilai suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Tabel kebenaran

A	B	A˄B	AvB	~(AvB)	(A˄B) ˄~(AvB)
1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	0	0	0	1	0

Dari tabel kebenaran di atas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

(A˄B) ˄~(AvB) adalah semua salah (Kontradiksi).

EKIVALENSI

Ekuivalensi logis adalah proposisi majemuk yang memiliki nilai kebenaran dan letak posisi yang  sama.

contoh dari soal : Av~A

Tabel kebenaran

A	~A	A ˅~A
1	0	1
0	1	1

DAFTAR PUSTAKA

Munir, R. (2010). Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.

Wibisono, S. 2008. "Matematika Dikrit". Dari  http://e-book-matematika-diskrit.pdf