MATDIS 1A (Relasi)

Selamat Datang Di Blog Saya
     Mari kita belajar Matematika Diskrit tentang Relasi dan yang paling penting jangan lupa kumpulkan niat, oke langsung aja kita mulai…

Pengertian Relasi

     Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.

     Misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu.

Contoh :

Misal E  = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }.

E × F menjadi :

E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}

Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E  ke F  yang  mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Hubungan/Relasi bisa juga  terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan  pada E, di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E.

Jenis Relasi dan Sifatnya

1. Relasi Biner

     Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Notasi : R⊆(A×B)

Sifat-sifat Relasi Biner

Suatu relasi biner yang didefinisikan dalam sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat sebagai berikut :

a) Sifat Refleksif

     Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) Î R untuk setiap a Î A.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3,3), dan (4, 4).

b) Sifat Irrefleksif

     Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A sedemikian  sehingga (a, a) Ï R.

Contoh :

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat irrefleksif karena (3, 3) Ï R. 

c) Sifat Simetrik

     Relasi R pada himpunan A disebut simetrik jika untuk semua a, b Î A, jika     (a, b) Î R, maka (b, a) Î R.

Contoh :

d) Sifat Anti-simetrik

     Relasi R pada himpunan A disebut anti-simetrik jika untuk semua a, b Î A, (a, b) Î R  dan (b, a) Î R  hanya jika a = b.

Contoh :

e) Sifat Transitif

     Relasi R pada himpunan A bersifat transitif jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R, maka (a, c) Î R, untuk a, b, c Î A.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat transitif.

2. Relasi Ekivalen

     Suatu relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Dua anggota A yang berelasi oleh suatu relasi ekivalen dikatakan ekivalen.

     Misalkan A himpunan string yang memuat alfabet dan l(x) panjang dari string x. Jika R relasi pada A dengan aRb jika dan hanya jika l(a) = l(b), apakah R suatu relasi ekivalen ?

Solusi:

R refleksif, karena l(a) = l(a) dan karenanya aRa untuk setiap string a.

R simetris, karena jika l(a) = l(b) maka l(b) = l(a), sehingga jika aRb maka bRa.

R transitif, karena jika l(a) = l(b) dan l(b) = l(c), maka    l(a) = l(c), sehingga aRb dan bRc mengakibatkan aRc.

Jadi, R adalah suatu relasi ekivalen.

3. Relasi Kompatibel

     Suatu relasi biner dikatakan kompatibel bila memenuhi sifat refleksi dan simetri, tetapi tidak harus transitif.

Contoh :

     Berdasarkan tabel di atas, dapat dibuat relasi kompatibel, sebagai berikut :

Representasi Relasi

    Dalam penerapannya suatu relasi dalam direpresentasikan dalam berbagai bentuk, sebagai berikut :

a) Representasi Relasi dengan Diagram Panah

     Contoh :

Relasi dalam diagram panah diatas, dapat dinyatakan dalam bentuk :

R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B

b) Representasi Relasi dengan Tabel

     Suatu relasi juga dapat direpresentasikan ke dalam bentuk tabel, sebagai contoh :

Diberikan suatu relasi :

     R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}, relasi di atas dapat dibuat dalam bentuk tabel, sebagai berikut :

Nama	Makanan
Via	Permen
Via	Coklat
Andre	Coklat
Andre	Es Krim
Ita	Es Krim

     dimana, kolom pertama pada tabel tersebut menyatakan daerah asal sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

c) Representasi Relasi dengan Matriks

Sebagai contoh penerapan relasi dalam matriks, diberikan relasi :

R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

Relasi tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matriks, sebagai berikut :

	Permen	Coklat	Es krim
Via	1	1	0
Andre	0	1	1
Ita	0	0	1

     Dimana, baris merupakan domainnya dan kolom merupakan kodomainnya.

d) Representasi Relasi dengan Graf Berarah

     Graf berarah merupakan gambaran yang paling tepat untuk relasi R ⊆ X² dengan aturan-aturan, sebagai berikut :

1) Setiap anggota himpunan X digambarkan dengan lingkaran

2) Graf berarah antara lingkaran menggambarkan adanya relasi antar anggota himpunan, jadi pasangan-pasangan anggota himpunan tersebut termasuk dalam relasi

Contoh :

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

Daftar Pustaka

https://www.academia.edu/13722997/Relasi_dan_Fungsi_dalam_Matematika_Diskrit

Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika

https://lamalamatika.wordpress.com/materi-relasi/

MATDIS 1A (Himpunan)

Selamat Datang Di Blog Saya
     Mari kita belajar Matematika Diskrit tentang Himpunan dan yang paling penting jangan lupa kumpulkan niat, oke langsung aja kita mulai…

Pengertian Himpunan

     Terminologi dasar tentang sekumpulan objek-objek diskrit adalah himpunan. Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek-objek yang berbeda secara bersama-sama. Kata “berbeda” dicetak miring untuk menekankan bahwa anggota himpunan tidak boleh sama. Ada 3 cara untuk menyajikan himpunan antara lain :

     1. Mengenumerasikan elemen-elemennya.

     2. Menggunakan simbol-simbol baku.

     3. Menyatakan syarat keanggotaan dan menggunakan diagram venn. 

PENYAJIAN HIMPUNAN

1) Enumerasi

        Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital ataupun menggunakan simbol-simbol lainnya. Contoh : Himpunan A yang berisi empat anggota 1,2,3, dan 4 yang ditulis sebagai A = {1,2,3,4}. Urutan himpunan tidak memiliki arti apa-apa, jadi kita juga bisa menuliskan A sebagai A = {4,2,3,1} atau A = {2,1,4,3}. Oleh sebab itu, beberapa literatur juga menambahkan definisi himpunan sebagai kumpulan objek tak berurutan.

2) Menyatakan Syarat Keanggotaan

        Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }.

Keterangan :

        a. Bagian di kiri tanda '|' melambangkan elemen himpunan.

        b. Tanda '|' dibaca dimana atau sedemikian sehingga.

        c. Sebelah kanan tanda '|' menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.

        d. Setiap tanda ',' dibaca sebagai dan.

Misal :

A adalah himpunan bilangan positif yang lebih kecil dari 10, dinyatakan sebagai :

A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 10}.

Atau yang lebih ringkasnya : A = { x | x ∈ P, x < 10 } sama dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

3) Diagram Venn

        Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 9, 10}, A = {1, 2, 4, 6, 8} dan B = {1, 3, 5, 8, 9}.

Contoh gambar Diagram Venn :

        Perhatikan bahwa A dan B memiliki anggota yang sama , yaitu 1 dan 8. Sedangkan himpunan U yang lain yaitu 7 dan 10 tidak termasuk ke dalam himpunan A dan B.

OPERASI PADA HIMPUNAN

Beberapa operasi pada himpunan antara lain :

1) Irisan Himpunan

    A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

    Contoh : A= {2, 3, 5, 7, 11}

                   B= {1, 3, 5, 7, 9}

                   A ∩ B = {3, 5, 7}

2) Gabungan Himpunan

    A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

    Contoh : A= {1, 2, 3, 4, 5}

                   B= {2, 3, 5, 7, 11}

                   A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

3) Komplemen Himpunan

    Komplemen A ditulis A1 atau A^c= {x | x ∈ S dan x Ï A}

    Contoh : A= {1, 2, 3, 4 , 5}

                   S = {bil. Asli kurang dari 10}
                  A^c= {6, 7, 8, 9}

4) Beda Setangkup

    Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

5) Selisih

    A Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}

    Contoh : A= {1, 2, 3, 4, 5}

                   B= {2, 3, 5, 7, 11}

                   A-B = {1, 4}

    Sekian sampai disini penjelasan dari Himpunan…

Saya akhiri Assalamu’alaikum Wr.Wb.

Daftar Pustaka

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2015/11/belajar-himpunan-matematika.html

https://annisarido.wordpress.com/2013/09/29/matematika-diskrit-teori-himpunan/

http://www.catatanrobert.com/himpunan-dalam-matematika-diskrit/ 

MATDIS 1A (Penarikan Kesimpulan, Aljabar Boolean, Gerbang Logika)

Selamat Datang Di Blog Saya
     Mari kita belajar Matematika Diskrit dan yang paling penting jangan lupa kumpulkan niat, oke langsung aja kita mulai…

1. Penarikan Kesimpulan

    Penarikan Kesimpulan di antaranya yaitu :

a) Modus Ponens

    Modus ponens adalah metode penarikan kesimpulan apabila ada pernyataan "p → q" dan diketahui "p" maka bisa ditarik kesimpulan "q".

Contoh dalam kalimat:

p                      : Hari ini hari Jum’at.

q                      : Saya belajar Matematika Diskrit.

p → q              : Jika hari ini hari jum’at maka saya belajar Matematika Diskrit.

p                      : Hari ini hari Senin.

kesimpulan(q) : Saya belajar Matematika Diskrit.

b) Modus Tollens

     Modus tollens adalah metode penarikan kesimpulan apabila ada pernyataan "p → q" dan diketahui "-q" maka bisa ditarik kesimpulan "-p".
Contoh dalam kalimat:
p                       : Hari ini hari Jum’at.
q                       : Saya belajar Matematika Diskrit.
p → q               : Jika hari ini hari Jum’at maka saya belajar Matematika Diskrit.

-q                      : Saya tidak belajar Matematika Diskrit.

kesimpulan(-p) : Hari ini bukan hari Jum’at.

c) Penambahan Disjungsi

    Penarikan kesimpulan dengan menambahkan disjungsi didasarkan pada fakta yakni jika suatu kalimat dihubungkan dengan "v" maka kalimat itu akan bernilai benar jika sekurang-kurangnya salah satu komponennya bernilai benar.

Contoh dalam kalimat:

p                             : Saya mengambil mata kuliah KTI.

q                             : Saya mengambil mata kuliah AGAMA.

kesimpulan (p v q) : Saya mengambil mata kuliah KTI atau AGAMA.

d) Penyederhanaan Konjungsi

    Jika salah satu kalimat dihubungkan dengan "ʌ" maka dapat diambil salah satu komponennya secara khusus.

Contoh dalam kalimat:

p ʌ q             : Saya mengambil mata kuliah Agama dan saya mengambil mata kuliah KTI

Kesimpulan  : Saya mengambil mata kuliah Agama dan KTI.

e) Silogisme Disjungsi

    Silogisme disjungsi merupakan penarikan kesimpulan dimana jika diberikan dua pilihan "p" atau "q" sedangkan "q" tidak dipilih maka kesimpulannya yang dipilih adalah "p".

Contoh kalimat:

p v q                 :  Hari ini saya mengerjakan tugas atau main bulu tangkis

 ̴ q                     :  Hari ini  saya tidak main bulu tangkis

kesimpulan(p)  :  Hari ini saya mengerjakan tugas

f) Dilema

    Dilema merupakan penarikan kesimpulan jika diketahui "p v q" dan "p → r" dan "q → r" maka kesimpulannya adalah "r".

Contoh kalimat:

p                      : Besok Ayah gajian

q                      : Kemarin Kakak wisuda

r                       : Saya akan dibelikan mainan

p ʌ q                : Besok Ayah gajian dan Kemarin Kakak wisuda.

p → r               : Jika Besok Ayah gajian maka Saya akan dibelikan mainan.

q → r               : Jika Kemarin Kakak wisuda Saya akan dibelikan mainan.

kesimpulan(r)  : Saya akan dibelikan mainan.

2. Aljabar Boolean

    Misalkan terdapat :

a) Terdapat "dan", "atau", "not".

b) 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda.

c) Himpunan yang didefinisikan pada operator +, ×, dan ’.

Contoh NK dari :

A+B

A	B	A+B
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

(AB)’

A	B	AB	(AB)’
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

3. Gerbang Logika

    Gerbang-gerbang logika merupakan dasar untuk membangun rangkaian elektronika digital. Suatu gerbang logika mempunyai satu terminal keluaran dan satu atau lebih terminal masukan.

Macam-macam gerbang logika antara lain :

a) Gerbang AND

    Gerbang logika menggunakan, gerbang AND akan bernilai output 1, jika seluruh input bernilai 1 jika salah satu input bernilai 0, maka output yang dihasilkan bernilai 0.

b) Gerbang OR

    Gerbang OR menggunakan, akan memiliki output 1, jika salah satu input bernilai 1. namun, jika seluruh input bernilai 0, maka output akan bernilai.

c) Gerbang NOT

    Gerbang NOT menggunakan IC 7404, memiliki input berkebalikan dengan output, misal input 1, maka output bernilai 0.

d) Gerbang NOR

    Gerbang NOR menggunakan IC 7402, memiliki output kebalikan dari gerbang OR, jika salah satu atau semua input bernilai 1, maka output akan bernilai 0, namun jika semua input bernilai 0, output akan bernilai 1.

e) Gerbang X-OR

    Gerbang X-OR menggunakan IC 7486, akan bernilai output 0, jika semua input bernilai sama. namun, jika salah satu input bernilai beda, akan bernilai output 1.

f) Gerbang X-NOR

    Gerbang X-NOR menggunakan IC 74266 atau bisa juga menggunakan IC 7486 digabungkan dengan IC 7404, merupakan kebalikan dari gerbang X-OR, memiliki output 1, jika semua input bernilai sama. namun, kalau salah satu bernilai beda, maka output akan bernilai 0.

Daftar Pustaka

http://hyperpost.blogspot.com/2014/10/logika-informatika-penarikan-kesimpulan.html 

https://bhimantoros.wordpress.com/2017/10/01/gerbang-logika-dasar/