MATDIS 1A (Relasi)

Selamat Datang Di Blog Saya
Mari kita belajar Matematika Diskrit tentang Relasi dan yang paling penting jangan lupa kumpulkan niat, oke langsung aja kita mulai…

Pengertian Relasi

Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.

Misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan, tetapi mengikuti aturan tertentu.

Contoh :

Misal E = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }.

E × F menjadi :

E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}

Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E ke F yang mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Hubungan/Relasi bisa juga terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan pada E, di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E.

Jenis Relasi dan Sifatnya

1. Relasi Biner

Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Notasi : R⊆(A×B)

Sifat-sifat Relasi Biner

Suatu relasi biner yang didefinisikan dalam sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat sebagai berikut :

a) Sifat Refleksif

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) Î R untuk setiap a Î A.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3,3), dan (4, 4).

b) Sifat Irrefleksif

Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A sedemikian sehingga (a, a) Ï R.

Contoh :

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat irrefleksif karena (3, 3) Ï R.

c) Sifat Simetrik

Relasi R pada himpunan A disebut simetrik jika untuk semua a, b Î A, jika (a, b) Î R, maka (b, a) Î R.

Contoh :

d) Sifat Anti-simetrik

Relasi R pada himpunan A disebut anti-simetrik jika untuk semua a, b Î A, (a, b) Î R dan (b, a) Î R hanya jika a = b.

Contoh :

e) Sifat Transitif

Relasi R pada himpunan A bersifat transitif jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R, maka (a, c) Î R, untuk a, b, c Î A.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat transitif.

2. Relasi Ekivalen

Suatu relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Dua anggota A yang berelasi oleh suatu relasi ekivalen dikatakan ekivalen.

Misalkan A himpunan string yang memuat alfabet dan l(x) panjang dari string x. Jika R relasi pada A dengan aRb jika dan hanya jika l(a) = l(b), apakah R suatu relasi ekivalen ?

Solusi:

R refleksif, karena l(a) = l(a) dan karenanya aRa untuk setiap string a.

R simetris, karena jika l(a) = l(b) maka l(b) = l(a), sehingga jika aRb maka bRa.

R transitif, karena jika l(a) = l(b) dan l(b) = l(c), maka l(a) = l(c), sehingga aRb dan bRc mengakibatkan aRc.

Jadi, R adalah suatu relasi ekivalen.

3. Relasi Kompatibel

Suatu relasi biner dikatakan kompatibel bila memenuhi sifat refleksi dan simetri, tetapi tidak harus transitif.

Contoh :

Berdasarkan tabel di atas, dapat dibuat relasi kompatibel, sebagai berikut :

Representasi Relasi

Dalam penerapannya suatu relasi dalam direpresentasikan dalam berbagai bentuk, sebagai berikut :

a) Representasi Relasi dengan Diagram Panah

Contoh :

Relasi dalam diagram panah diatas, dapat dinyatakan dalam bentuk :

R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B

b) Representasi Relasi dengan Tabel

Suatu relasi juga dapat direpresentasikan ke dalam bentuk tabel, sebagai contoh :

Diberikan suatu relasi :

R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}, relasi di atas dapat dibuat dalam bentuk tabel, sebagai berikut :

Nama	Makanan
Via	Permen
Via	Coklat
Andre	Coklat
Andre	Es Krim
Ita	Es Krim

dimana, kolom pertama pada tabel tersebut menyatakan daerah asal sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

c) Representasi Relasi dengan Matriks

Sebagai contoh penerapan relasi dalam matriks, diberikan relasi :

R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

Relasi tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matriks, sebagai berikut :

	Permen	Coklat	Es krim
Via	1	1	0
Andre	0	1	1
Ita	0	0	1

Dimana, baris merupakan domainnya dan kolom merupakan kodomainnya.

d) Representasi Relasi dengan Graf Berarah

Graf berarah merupakan gambaran yang paling tepat untuk relasi R ⊆ X² dengan aturan-aturan, sebagai berikut :

1) Setiap anggota himpunan X digambarkan dengan lingkaran

2) Graf berarah antara lingkaran menggambarkan adanya relasi antar anggota himpunan, jadi pasangan-pasangan anggota himpunan tersebut termasuk dalam relasi

Contoh :